proemi-aula 10 - a gravitação universal

Um pouco de história

Quem já não ficou olhando para o céu tentando desvendar o misterioso mundo dos astros?  Muitos fenômenos celestes exerciam uma forte influência nos povos mais antigos e até hoje exercem um fascínio sobre a gente. Isso levou muitos astrônomos da Antigüidade a coletar inúmeros dados sobre o movimento dos astros, já que podia-se observar que muitos deles se moviam entre os demais. Existem vários modelos que podemos citar sobre o movimento dos astros, tais como o Sistema de Ptolomeu (século II d.C.) e o modelo dos gregos (Aristóteles - século IV a.C.), que julgavam que os corpos celestes giravam em torno da Terra (Sistema Geocêntrico - Fig. 9.1).

Figura 9.1 - Sistema Geocêntrico - órbitas dos planetas    circulares (modelo de Aristóteles e Ptolomeu)

O que mais nos interessa agora é o modelo de Copérnico (XVI). Nesse modelo denominado heliocêntrico, o Sol estaria em repouso e a Terra e os demais planetas girariam em torno dele em órbitas circulares. Anos depois foi provado por Kepler que estas órbitas eram elípticas. A fig. 9.2 mostra o Sistema Heliocêntrico nos dias de hoje com todos os planetas do sistema Solar (as posições dos planetas estão sempre mudando).
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As posições dos planetas podem ser vistas no simulador da NASA no site: http://space.jpl.nasa.gov/ Figura 9.2 - Sistema Heliocêntrico

As órbitas dos planetas são elipses de pequena excentricidade, praticamente circulares.

No século XVII era uma heresia religiosa sugerir que os planetas giravam ao redor do Sol e não da Terra. Em 1600, Giordano Bruno, um defensor do sistema heliocêntrico de Copérnico e um religioso herético em geral, foi julgado pela Inquisição e queimado na fogueira.
Mesmo o grande Galileu, que era amigo do Papa, foi preso, julgado pela Inquisição, e obrigado a renunciar publicamente suas crenças.
Anos após a morte de Copérnico, Tycho Brahe, um astrônomo dinamarquês, com um observatório muito bem equipado, observou por cerca de 20 anos o movimento dos planetas.
Esses dados foram tabelados e foram a base do trabalho de Kepler (XVII), que era seu discípulo. Após a morte de Tycho Brahe, Kepler estudou os dados deixados por seu mestre durante 17 anos, concebendo as três leis sobre o movimento dos planetas, dando origem à Mecânica Celeste.
Leis de Kepler

1a Lei de Kepler: Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma forma elíptica da qual o Sol ocupa um dos focos (fig. 9.3).	Figura 9.3 - 1a Lei de Kepler - O Sol ocupa um dos focos da elipse e a órbita do planeta é elíptica.
2a Lei de Kepler: A reta que une um planeta ao Sol "varre" áreas iguais em tempos iguais (fig. 9.4).	Figura 9.4 - 2a Lei de Kepler - As áreas A1 e A2 são iguais.

Nestes desenhos exageramos a excentricidade das elipses para facilitar a compreensão. Da fig. 9.4 você pode observar que:

• As áreas A₁ e A₂ são iguais considerando que os tempos para o planeta ir de A a B e de C a D são iguais.

• O planeta se move com maior velocidade perto do Sol (arco AB) do que quando está mais afastado do Sol (arco CD). Isto acontece porque o planeta, estando mais próximo do Sol, sofre uma força de atração maior (comprovado mais tarde por Newton).

Observação: A 2^a Lei de Kepler é válida para qualquer movimento em que haja atuação de forças dirigidas para um único ponto (forças centrais). Assim, no movimento circular, por exemplo, vale a 2^a Lei de Kepler. 3^a Lei de Kepler: Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas.
Expressão:

T2 / R3 = K (constante)

(9.1)

Onde:
T: período de revolução do planeta
R: raio da órbita do planeta
A terceira lei de Kepler nos diz que quanto mais afastado estiver o planeta do Sol, maior o tempo que leva para dar uma volta completa (maior o período), e vice-versa.
Só para você ter uma idéia: "A Terra leva um ano para dar uma volta ao redor do Sol e o raio de sua órbita é igual á 1,000 u.a. (uma unidade astronômica), enquanto Plutão, que é o planeta mais afastado do Sol, leva 248 anos para dar uma volta completa e o raio da sua órbita é igual à 39,4 u.a."

Lei da Gravitação Universal

(Isaac Newton - sec XVII) Mais tarde, Newton, apoiado nas idéias de Kepler, observou que os planetas deviam estar sujeitos a uma força centrípeta, pois não sendo assim, suas trajetórias não seriam curvas (fig. 9.5).
Logo Newton concluiu que essa força era devida à atração do Sol sobre os planetas, deduzindo as Leis de Kepler, que antes disso eram baseadas apenas em observações.
A Lei da Gravitação Universal é uma expressão matemática baseada na força de atração do Sol nos planetas cujo enunciado é:
"Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles."
Expressão:

F = (Gm1m2) / d2

(9.2)

Onde:
F: força de atração
G: constante de gravitação universal
m₁ e m₂: massas dos corpos estudados
d: distância entre os corpos

Esta lei estabelece duas relações importantes: Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de atração, e vice-versa.  Quanto maior as massas dos corpos, maior a força de atração, e vice-versa.  Da fig. 9.5 temos que a força F1 de atração que o Sol exerce sobre o planeta é maior que F2 porque a distância que o planeta está do Sol na posição 1 é menor que a distância na posição 2.

Figura 9.5- A força de atração F1 é maior do que a força F2 (Lei da Gravitação Universal - Newton).

Biografia dos mestres da astronomia

Aristóteles (384 a.C)	Filósofo grego, Aristóteles nasceu em Estagir, Macedônia, em 384 a.C. Foi discípulo de Platão durante 20 anos, e após a morte deste, foi mestre de Alexandre, o Grande. O cosmos aristotélico é apresentado como um círculo gigantesco, porém finito, no qual se verifica uma rigorosa subordinação das novas esferas girando em torno da Terra, que se mantém imóvel no centro do sistema. Os corpos celestes não seriam formados por nenhum dos chamados quatro elementos transformáveis (terra, água, ar e fogo), mas por um elemento não transformável designado "quinta essência". Os movimentos circulares dos objetos celestes seriam, além de naturais, eternos.
Claudius Ptolemaeus (120-189)	Ptolomeu viveu na Alexandria, observou milhares de estrelas e agrupou-as em 48 constelações conhecidas até hoje. É chamado "O Príncipe dos Astrônomos" e seu trabalho recebeu modificações feitas pelos europeus no séculos XVI
Nicolau Copérnico (1473-1543)	Nascido na Polônia, além de astrônomo e matemático, destacou-se também como sacerdote, médico, economista, jurista, administrador e diplomata. Parte de seus estudos foram feitos na Itália, onde aprendeu grego, podendo assim ler os originais das obras dos grandes astrônomos e filósofos da antigüidade. Apresentou sua teoria heliocêntrica, na qual sugere que a Terra gira em torno de si mesma e orbita ao redor do Sol: no livro "De Revolutionibus Orbium Coelestuim" - Sobre as Revoluções das Estrelas Celestes -, abrindo uma visão completamente nova do Universo. A obra só foi publicada em 1543, quando Copérnico já estava morto. Ganhou o título de Pai da Astronomia Moderna.
Johannes Kepler (1571-1630)	Astrônomo alemão, publicou sua primeira obra, "Mysterium Cosmographicum", em 1596, na qual se manifesta pela primeira vez a favor da teoria heliocêntrica de Copérnico. Durante 17 anos analisou e pesquisou os dados deixados pelo grande astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, tendo conseguido descobrir as três leis do movimento dos planetas, que deram origem à mecânica celeste.

               CuRioSiDaDeS !!!

O Sol

 A luz do nosso astro-rei demora 8 min e 15 s para chegar até nós.

 A distância entre o Sol e a Terra é de 148,45 milhões de quilômetros.

 Sua massa é 334,672 vezes maior que massa da Terra, e ele é 109 vezes maior que ela.

 Na sua superfície a temperatura chega a 5500 oC.
  Calcula-se que no seu centro a temperatura chega a 15 milhões oC.

 Ele sempre nasce do lado leste.

A Terra

 A massa do planeta é 5,9 sextilhões de toneladas!

 A população é de 5,2 milhões de habitantes.

 A Terra é o único planeta que possui água no estado líquido e uma combinação de
  fatores (oceanos, atmosfera, etc..) que levam ao desenvolvimento de formas de vida.

 Distância média da Terra à Lua: 382.166 km.

A Lua

 A lua é um satélite natural da Terra e é o astro mais próximo dela.
 Ela não tem brilho próprio. A luz que vemos é a do Sol refletida nela,
  luz que demora 1,25 segundos para chegar até a Terra.

Se você gosta de astronomia e gostaria de saber mais, visite:
Nasa
Centro de Divulgação da Astronomia
Instituto Astronômico e Geofísico
Laboratório Nacional de Astrofísica
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais

Experimento 9 - O Movimento Gravitacional - Procedimento Experimental
Como há muitas dificuldades para simular um movimento gravitacional no laboratório, a 2^a Lei de Kepler vai ser demonstrada para um movimento central realizado por uma mola.
A simulação do movimento gravitacional será realizada em Linguagem LOGO.
Objetivos

• Verificar experimentalmente a 2ª Lei de Kepler (Leis de Kepler)
• Comparar as velocidades próximas ao centro de atuação da força e as velocidades afastadas do centro de atuação da força

Material

• Kit PUCK
• Câmera de vídeo
• Mola ou um pedaço de elástico
• Ventosa

Procedimento

• Nivele a mesa.
• Fixe a ventosa próxima à margem da mesa (fig. 9.6).
• Prenda uma das extremidades da mola ou elástico ao PUCK e a outra à ventosa.
• Ligue apenas a bomba de ar do PUCK
• Dê um pequeno impulso no PUCK para ele descrever uma trajetória ao redor do centro de atuação da força.
• Faça a filmagem, colocando a câmera em uma posição tal que fique paralela à mesa de vidro.
• Faça a captura e o tratamento da imagens obtidas

   
 






Figura 9.6 - Montagem do Kit do Puck.

Medidas

• Fazer a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções.
• Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do puck a cada três intervalos (três quadros), por exemplo (fig. 5).
Com a ferramenta “Reta”, trace os triângulos que está sendo "varrido" pelo vetor posição, unindo as posições do puck marcadas ao centro C, como mostra a figura 9.7a.
 

Figura 9.7a - Áreas "varridas" pelo vetor posição com origem em C, quando o puck vai da posição A (1) para B (2) e de B (2) para D (3)

Figura 9.7b - Utilizando as ferramentas do SAM para determinar a altura h do triângulo CAB

Para obter as áreas varridas em tempos iguais :

• Determine a altura h, utilizando a ferramenta círculo, considerando, por exemplo, a base como sendo BC (b₁). Para tal, trace (fig. 9.7b):

              - Uma circunferência com centro C e raio CA e em seguida outra com centro em B e raio BA.
             - Com a ferramenta “Reta”, trace o segmento AA^,, que une as intersecções das duas circunferências.
             - A altura h é dada pela distância AH^,, que é a perpendicular traçada do ponto A à base BC (b).

• Meça a altura h e a base BC (b) com a ferramenta régua.
• Faça o mesmo procedimento para obter as alturas e bases dos outros triângulos
• Coloque os valores na tabela 7.1.
• Calcule as áreas (A = (b* h) / 2) dos triângulos como mostra a figura 9.7a.

Clique aqui para preencher a Tabela 7.1

Questões

1) Calcule o valor médio das áreas encontradas na tabela 7.1.
2) Da sua compreensão da 2^a Lei de Kepler, os resultados das áreas obtidos na tabela 7.1 são os esperados? Justificar a resposta.3) As velocidades do PUCK, quando está próximo ao centro de força, são maiores ou menores que as velocidades do PUCK   afastado do centro de força? Justificar a resposta sem fazer cálculos, observando apenas a trajetória do PUCK.

Dê resumidamente as conclusões e sugestões para melhoria do experimento.