MATEMÁTICA ESSENCIAL
BREVE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA
ANOTAÇÕES DE AULA
CONTINUAÇÃO 1
9- EQUAÇÕES IRRACIONAIS
São equações que apresentam a incógnita no radicando. Como resolvê-las? Há um procedimento lógico: dispor os elementos componentes da equação de modo que “elevando-se a uma potência conveniente” possamos obter uma equação que não tenha a incógnita sob um radical.
Exemplo x = 83.
Atenção: Não deixe de observar que igualdades como A = B e An = Bn nem sempre são equivalentes: ao elevar uma igualdade a uma potência qualquer podemos introduzir raízes estranhas à equação. Por exemplo, considere x = 3. Elevando-se ao quadrado obtemos: x2 = 9 cujas soluções são +3 e -3. Mas é claro que -3 não é raiz da equação dada. Como regra geral: é necessário verificar se as raízes obtidas são raízes da equação original.
Exemplo Resolver em R: b
O que é fatoração
Fatorar significa, essencialmente, transformar uma expressão contendo somas e subtrações em outra expressão equivalente na forma de um produto. Algumas formas são bem conhecidas e devem sempre estar na mente.
• Fator comum em evidência:
Como em a.x.y + x.y2 - z.x.y = x.y (a + y - z).
• Fatoração por agrupamento:
Como em a.x.y.z + a.x + b.y2z. + b.y = a.x (y.z + 1) + b.y (y.z + 1) = (1 + y.z) . (a.x + b.y).
É importante que o estudante conheça os chamados produtos notáveis e os principais casos de fatoração. Para facilitar a consulta agrupamos abaixo os casos importantes.
a2 - b2 = (a + b). (a – b);
(a b)2 = a2 2ab + b2;
(a b)3 = a3 3 a2b + 3 ab2 b3;
a3 b3 = (a b). (a2 ab + b2);
E não esquecer de ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2), com x1 e x2 raízes da equação
ax2 + bx + c = 0 e a 0.
REVISE
1- Fatore:
a) x2 – 7yx + 12y2; b) x2 – 3yx – 4x + 12y ; c) x4 – 20x2 + 4; d) x4 – 4y4;
2- Simplifique: .
3- Calcule no conjunto real:
4- Simplifique:
5- (UFPB) Quanto vale:
a) b) 251/2 + 272/3 ? c) ?
6- Racionalize:
7- (F. Osvaldo Cruz-SP) Sendo k um inteiro positivo, qual o valor da expressão: E = (-1)k + (-1)k+1?
8- (Fuvest) Qual o valor de (0,2)3 + (0,16)2 ?
9- (Mack-SP) Sendo n um número natural, qual o valor de (2n+1 + 2n) . (3n+1 – 3n) / 6n ?
10- (Vunesp) = ?
11- (Fuvest) = ?
12- Resolver nos reais:
a) 3x + 2 = 3 (x – 1); b) 7 (x + 2) - 7x = 14; c) ;
d) x.(x-8).(3x – 7) = 0; e) x2 - 2x = 0; f) x2 - 25 = 0;
g) x2 + 4 = 0; h) x2 - 6x + 8 = 0; i) 4x2 + 4x + 1 = 0;
j) 7x2 - 5x + 3 = 0.
13- Qual o valor de m em x2 - 4x + m = 0 de modo que não existam raízes reais?
14- Na equação x2 - 8x + k = 0, sendo k real, uma raiz é o triplo da outra. Qual o valor de k?
15- (UFSCar-SP) Considere a equação x2 + kx + 36 = 0, onde x’ e x” representam suas raízes. Para que exista a relação (x’)-1 + (x”)-1 = 5. 12-1 o valor de k na equação deverá ser:
a) -15; b) -10; c) +12; d) +15; e) +36.
11- INTERVALOS
É muito frequente o uso de alguns subconjuntos dos Reais, chamados de intervalos. Alguns exemplos (observe também as distintas formas de apresentação dos intervalos):
{x R / 3 x < 9} [3 ; 9[
{ x R / x 4} [4 ; + [
{ x R / x < 15} [ ; 15[
REVISE
16- Resolva o sistema 2x + 6 10 e 3x – 36 0 , obtendo a intersecção dos intervalos que são soluções de cada equação.
12- FUNÇÃO CONSTANTE
A função em que todos os elementos do domínio apresentam a mesma imagem é chamada de função constante. Formalmente: f(x) = c, sendo c um número real. Esquematize as possíveis representações gráficas de uma função constante.
13- VARIAÇÃO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO QUALQUER
É muito importante na análise do comportamento de uma função (e no estudo das inequações) verificar como varia o sinal de f(x) quando x percorre todo o domínio da função. Graficamente, o estudo da variação do sinal de uma função consiste em determinar o sinal das ordenadas dos pontos (x, y) segundo a variação da coordenada x.
Observe na figura ao lado:
• f (x) < 0, para -3 < x < -1 ou 2 < x < 5;
• f (x) > 0, para x < - 3, ou -1 < x < 2 ou x > 5;
• f (x) = 0, para x = -3, -1, 2 e 5.
14- MONOTONICIDADE: FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Uma função real y = f(x) de domínio D é crescente num intervalo contido em D se, para todo x pertencente ao intervalo, à medida que o valor de x aumenta o valor de sua imagem, f(x), também aumenta. Formalmente, para x1 e x2 contidos no intervalo: x1 < x2 f(x2) > f(x1).
De forma análoga, uma função real y = f(x) de domínio D é decrescente num intervalo contido em D se, para todo x pertencente ao intervalo, à medida que o valor de x aumenta o valor de sua imagem, f(x), diminui. Formalmente, para x1 e x2 contidos no intervalo: x1 < x2 f(x2) < f(x1).
Exemplo A função f(x) = a.x + b, com a 0 , a e b reais, é crescente quando a > 0 e é decrescente quando a < 0 (“que tal” comprovar!).
15- PARIDADE DE UMA FUNÇÃO: FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR
Outra importante característica que uma função pode apresentar está em sua paridade: o relacionamento simétrico ou não das imagens de pontos simétricos do domínio. Definem-se:
Função par: Uma função f : A B é par se para cada x e -x, pertencentes ao seu domínio, as imagens existem e são iguais.
Função ímpar: Uma função f : A B é ímpar se para cada x e -x, pertencentes ao seu domínio, as imagens existem e são opostas.
Formalmente:
Função par: f : A B é uma função par se e só se f (x) = f (-x), x A;
Função ímpar: f : A B é uma função ímpar se e só se f (x) = - f (-x), x A.
Exemplo
f : R R / f (x) = x2 é função par. No entanto, f : R R / f (x ) = (x -3)2 não é função par; faça os gráficos dessas funções e observe uma característica das funções pares: elas são simétricas com relação ao eixo das ordenadas. Você tem dúvida sobre o que simetria quer dizer? Compare sua mão direita com a mão esquerda: elas são simétricas, não são idênticas.
Exemplo
Outro exemplo de função par: f : R R / f (x) = k, k R (a função constante); faça o gráfico e observe a característica acima apontada.
Exemplo
f : R R / f (x) = x é função ímpar. No entanto, f : R R / f (x ) = x +3 não é função ímpar; faça os gráficos dessas funções e observe uma característica das funções ímpares: elas são simétricas com relação a origem, (0,0), das coordenadas.
16- FUNÇÃO PERIÓDICA
Um tipo de particular importância de função: aquelas que se repetem após um dado intervalo. Formalmente: f : A B é dita ser periódica quando existe algum número p real, tal que
f (x) = f (x + p), x A.
O menor número p que satisfaça a condição de periodicidade acima é dito ser o período da função.
REVISE
17- Se f é uma função dos reais nos reais tal que f (a + b) = f (a) + f (b) quaisquer que sejam a e b reais, qual a paridade de f?
18- Sendo f uma função real, ímpar, tal que f (x) = x3 + k.x2 + m.x e f (2) = 4, quanto vale f (10)?
19- Sendo f (3x – 1) < f ( (x + 7), para que valores de x, f será uma função decrescente?
20- Sendo f : R R definida por f (x) = m ( x – 1) + 3 – 2x:
a) para que valores de m, f será uma função crescente? b) para que valores de m, f será uma função decrescente? c) para que valores de m, f será uma função constante?
21- O período p da função f: R R, é 12; sabe-se também que f (7) = 5 e f (10) = 8. Qual o valor de f (70)?
22- A função f : R R definida por f (x) = a x2 + b x + c é uma função par e f (2) =11, f (0) = 3. Qual o valor de f (5)?
17- DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
Considere a expressão ax = b. Sendo a e b números reais positivos e a 1, demonstra-se existir um único número real x que satisfaz a essa equação. É esse número x que se denomina logaritmo de b na base a, indicando-se da seguinte maneira:
loga b = x ax = b.
Quer dizer, por definição,
“o logaritmo de um número em uma dada base é o expoente a que se deve elevar a base para se obter o número”.
Acostume-se com a nomenclatura: em loga b = x , a é referido como a base, x é o logaritmo e b é dito ser o logaritmando ou (denominação antiga) antilogaritmo.
Examine os seguintes destaques:
• Log3 9 = 2 ; log2 8 = 3 ; log10 0,01 = - 2 (justifique com base na definição);
• Números negativos não têm logaritmos (claro, não é?! Reveja na definição o destaque em negrito: a e b são números reais positivos. Logo, ax é sempre positivo!).
• A base não pode ser 1! (também destacado na definição de logaritmo).
• Confirme: loga 1 = 0, qualquer que seja a 1, positivo.
• Atenção: é usual (praxe) não se indicar a base do logaritmo quando esta é 10: são os logaritmos de base decimal como log 4, log 0,0098, ...
Exemplo 1 Use a definição de logaritmo para resolver:
Solução
a) Note que, por definição
b) Por definição: a7 = 128 = 27 a = 2.
c) Por definição: (0,4)4 = x (4.10-1)4 = x x = 0,0256.
Exemplo 2- Qual a solução real da equação: log7 (7x + 56) = 2x ?
Solução
Usando a definição de logaritmo temos:
72x = 7x + 56 fazendo y = 7x y2 - y - 56 = 0.
As raízes dessa equação quadrática são (determine!): 8 e -7.
• Para a primeira solução: 7x = 8 (Confirme! É por definição de logaritmo) x = log7 8;
• Para a segunda solução temos: 7x = - 7 não existe solução.
Resp. x = log7 8.
18- CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
É muito importante que você “se ligue” na definição de logaritmo. Os logaritmos e, em particular a função logaritmo (que estudaremos na sequência), são muito importantes para a Ciência. Dessa definição advêm algumas decorrências úteis. Examine:
• Como você já viu: loga 1 = 0, qualquer que seja a base (permitida!) a;
• É imediato que: loga a = 1;
• Vale: loga an = n; tem dúvida? Use a definição.
• Se loga b = loga c então: b = c , necessariamente.
• Note: ; Esse resultado é também muito importante. Examine a demonstração:
Exemplo 3- (Vunesp) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evaporasse lentamente. A experiência termina quando toda a água se evapora. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão:
.
Nessa expressão k é uma constante positiva e t é dado em horas.
a) Sabendo que existia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante k;
b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
Solução
a) “Inicialmente” significa t = 0. Fazendo t = 0 na equação dada e considerando o valor fornecido para Q(t) obtemos (note o uso de log para indicar logaritmo decimal):
1 =
b) Usando o valor obtido para k, a equação dada será reescrita na forma: Q(t) = . Segundo o enunciado a experiência termina quando todo a água se evapora: instante t para o qual Q(t) = 0 = 0 por definição de logaritmo: 100 = t = 9. Resp. a) k = 1; b) 9 h.
Exemplo 4- (Cesgranrio) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de uma determinada cidade, com idades que variam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula , em que h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos). Pela fórmula, uma criança de 10 anos dessa cidade terá uma altura de:
a) 120 cm; b) 123 cm; c) 125 cm; d) 128 cm; e) 130 cm.
Solução
De acordo com o enunciado, para i = 10 (anos): h = log (100,7. 101/2) = log (101,2) por definição de logaritmo 10h = 101,2. Portanto: h = 1,2 m. Resp. a.
Exemplo 5- Determine os valores de x para os quais log(x + 1)(x2 – 4) existe.
Solução
Reveja a definição de logaritmo. Comprove então que são necessárias as seguintes condições:
• A base (no caso: x + 1) deve ser um número real positivo e diferente de 1:
x + 1 > 0 e x + 1 1 (I);
• O logaritmando (no caso: x2 – 4) deve ser um número real positivo:
x2 - 4 > 0 (II).
Vejamos agora as decorrências dessas exigências.
• x + 1 > 0 x > - 1 (I.1);
• x + 1 1 x 0 (I.2);
• x2 - 4 > 0 x2 > 4 (recorde o que você aprendeu ao estudar módulo)
| x |2 > 4 | x | > 2 x > +2 ou x < -2 (II.1)
Colocando essas condições na reta real obtemos:
Assim, para que exista o logaritmo dado deveremos ter: x > 2.
REVISE
23- (UFRN) O valor da expressão log264 - log327 é:
a) 3; b) 13; c) 17; d) 31; e) 37.
24- Qual é a base?
a) loga 0,5 = - 1; b) loga (8/27) = 3;
c) loga 0,01 = -2; d) loga (1/5) = 1 e) loga = .
25- Quanto vale?
a) log3 81; b) log1/4 (1/16);
c) log 10; d) ; e) log6 36.
26- (PUC-PR - modificada) Qual o valor da expressão ?
27- (Vunesp) Numa fábrica o lucro originado pela produção de x peças é dado, em milhares de reais, pela função L(x) = log(100 + x) + k, com k constante real.
a) Sabendo que não havendo produção não há lucro, determine k;
b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais.
28- (Fuvest) Determine o valor de .
29- Determine as condições de existência de solução para as seguintes equações logarítmicas:
a) log3 x = logx 3; b) log7 x + log7 (x-2) = log7 15;
c) logx (x + 6) = 2; d) logx – 1 (x + 1) = 4; e) log3 (x2 – x – 6) = 4.
19- PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
O conhecimento das propriedades dos logaritmos facilita muito o seu emprego. Nunca esqueça que a definição de logaritmo impõe restrições para sua existência:
loga b só existe se b > 0 e 0 < a 1.
Destacamos em seguida as principais propriedades do logaritmo.
• Logaritmo do produto: loga (b . c) = loga b + loga c;
Demonstração: façamos loga b = x e loga c = y. Por definição de logaritmo temos: b = ax e c = ay. Daí: b.c = ax+ y . Logo loga (b. c) = loga ax+ y = x+y = logab + logac .
• Logaritmo do quociente: loga (b / c) = loga b - loga c;
Demonstração: demonstre; siga os passos da demonstração anterior.
• Logaritmo de potência: loga xm = m . loga x ;
Demonstração: façamos loga x = y; resulta: x = ay. Assim, xm = am. y; daí:
loga xm = loga am.y = m. y = m. loga x.
Observação: Um caso particular dessa propriedade é:
.
E não deixe de observar as restrições para este caso: 0 < a 1, x > 0, n 2, m e n inteiros.
Exemplo 6- A operação Δ (x) é definida como Δ (x) = ln x e a operação Ω (x) é definida como Ω (x) = ex, onde ln é o logaritmo natural (logaritmo de base e). Concluí-se corretamente que a operação Δ (Ω (x)) conduz a:
a) x; b) ex; c) ln e2x; d) 2x.
Solução
De acordo com os dados do enunciado: Δ (Ω (x)) = Δ (ex) = ln (ex). Mas, ln é, segundo informado no enunciado, o logaritmo de base e: ln ex = loge ex = x (por definição de logaritmo). Resp. a.
Exemplo 7- (Vunesp) Em que base o logaritmo de um número natural n, com n >1, coincide com o próprio número n?
a) nn; b) 1/n; c) n2; d) n; e) n1/n.
Solução
Deseja-se logx n = n. Por definição de logaritmo: n = xn . Tomando agora o logaritmo na base n resulta: 1 = n logn x. Ou seja, 1 / n = logn x. Assim, novamente usando a definição de logaritmo: x = n1/n. Resp. e.
Exemplo 8- (UFRJ) Ao se estudar o crescimento das palmeiras na cidade de Palmeirópolis constatou-se que a função que descreve esse crescimento em metros, após t anos, é . Quantos anos serão necessários para que uma determinada palmeira atinja 27 metros de altura?
Solução
Desejamos . Como 27 = 33 podemos escrever: 33 = . Assim:
3 = log2 (2t-1) por definição de logaritmo: 23 = 2t – 1. Daí: t = 4,5 anos.
Exemplo 9- Dado que log 5 = b, determine log 2.
Solução
Temos log 2 = log 10/5 = (propriedade dos logaritmos) log 10 - log 5 = 1 - b. Resp. 1 - b.
Exemplo 10- Sendo loga x = 5, loga y = 6 e loga z = 7 determine o valor de .
Solução
Comprove o uso das propriedades do logaritmo:
20- MUDANÇA DE BASE
As propriedades dos logaritmos envolvem uma mesma base, o que nem sempre ocorre. Por essa razão é muito útil saber como mudar a base de um dado logaritmo. Por exemplo, sendo conhecido o logaritmo de um número em certa base, digamos log 3 (logaritmo decimal, não esqueça!), pode ser necessário saber qual o logaritmo desse número em outra base, digamos log2 3. Como proceder? A resposta está no seguinte muito importante resultado:
.
Demonstração: façamos loga b = y. Daí b = a y. Fazendo agora logx b = z, decorre que b = zx. Portanto: zx = a y. Mas, de z = logx b obtemos, z = logx a y z = y . logx a, ou seja logx b = loga b . logx a , cqd.
Exemplo 11- (UFF) O valor da expressão log3 2 . log4 3 . log5 4 . ... . log10 9 é:
a) 0; b) log10 2; c) log4 3; d) log3 4; e) 1.
Solução
Temos uma sequência de produtos de logaritmos de bases diferentes. Naturalmente pensamos então em colocar todos os termos em uma mesma base. Para isso devemos usar o resultado em destaque acima (muito importante, como ressaltado). Escolhendo a base 10 podemos reescrever a expressão dada como:
.
Observamos que vários termos cancelam-se mutuamente restando apenas:
. Resp. b.
Exemplo 12- Dados log 2 = 0,301; log 7 = 0,845 calcule:
a) log 32; b) log2 7; c) log 98; d) log 5.
Solução
a) log 32 = log 25 (propriedade do logaritmo) log 32 = 5. log 2 = 1,505.
b) Usando a propriedade de mudança de base: .
c) log 98 = log 2. 49 = log2 + log49 = log2 + log72 = log2 + 2.log7 = 1,991.
d) log5 = log (10 / 2) = log10 - log2 = 1 - 0,301 = 0,699.
Exemplo 13- Sendo loga2 = b e loga5 = d determine log20 em termos de b e d.
Solução
Naturalmente devemos fazer uma mudança de base para podermos usar os dados fornecidos. Acompanhe. E justifique cada passagem.
.
(“Esticamos” um pouquinho a solução para você usar mais as propriedades do log)
Exemplo 14- Demonstre as seguintes propriedades:
a) ; b) loga b . logca = logc b.
Solução
a) Façamos uma mudança de base (para outra base, permitida!, digamos x). Comprove:
.
Comparando esses resultados (gerais) comprovamos que: .
b) É imediato. Fazendo a mudança de base: podemos reescrever o primeiro membro da igualdade dada na forma:
loga b . logca = , conforme desejado.
21- EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chama-se equação logarítmica a toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Você já aprendeu todo o necessário para enfrentar esse problema. Assim, “vá à luta”!
Exemplo 15- (Cesgranrio) O conjunto solução da equação log4 x + logx 4 = é tal que a soma de seus elementos é igual a:
a) 0; b) 2; c) 14; d) 16; e) 18.
Solução
Acompanhe o desenvolvimento.
• As condições de existência da solução (comprove) são: x > 0 e x 1;
• Usando a propriedade de mudança de base escrevemos ;
• Você confirmou o resultado anterior? Podemos então reescrever a equaação dada na forma: log4x + ;
• Fazendo log4x = y 2y2 - 5y + 2 = 0;
• As raízes dessa equação são: 2 e 1/2 ;
• Usando a primeira solução obtemos: log4x = 2 por definição x = 42 = 16;
• Usando a segunda solução obtemos: log4x = 1/2 x = 41/2 x = 2. Resp. e.
Equações logarítmicas: observação
Ao resolvermos equações logarítmicas torna-se imprescindível um cuidado: estabelecer inicialmente as condições de existência (nunca esqueça: o logaritmo é definido sob restrições para a base e o logaritmando).
Assim, após encontrarmos os valores da incógnita é preciso a verificação final se eles satisfazem as condições de existência. Por exemplo, considere resolver a equação: logx (x + 6) = 2.
• A definição de logaritmo exige x + 6 > 0 e que 0 < x 1.
• Também por definição de logaritmo inferimos da equação dada que
x2 = x + 6 o que nos fornece duas soluções: x = 3 e x = -2.
Dessas soluções apenas x = 3 serve (satisfaz as condições de existência).
REVISE
30- (Doctor – Curso de Matemática) Desde muito tempo, na Antiguidade, que se calculam juros. Numa tábula do Louvre, de cerca de 1700 a.C., há o seguinte problema: Por quanto tempo deve-se aplicar uma certa soma em dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ele dobre? Resolvendo esse problema por métodos modernos, a solução correta é:
a) ; b) ; c) ; d) 2 anos.
31- (Mack) Qual o valor de A tal que ?
32- (Fuvest) Sejam x e y números reais positivos. A igualdade log (x + y) = log x + log y é verdadeira se, e somente se:
a) x = y = 2; b) x = 5 / 3 e y = 5 / 2; c) x = y; d) x y = 1; e) (1 / x) + (1 / y) = 1.
33- (Mack) Em qual das passagens (a, b, c, d ou e) abaixo foi cometido um erro?
34- (UFRN) As soluções da equação 3x + 1 + 34 – x - 36 = 0 são a e b, sendo a < b. Encontre o valor da expressão log3 (a + b) + log3 (b – a).
35- (UFRN) Determine os valores reais de x que satisfazem a equação:
log (x + 1) + log (x + 4) = 1.
36- (UFRN) Os habitantes de um certo país são apreciadores dos logaritmos em bases potência de dois. Nesse país, o “Banco ZIG” oferece empréstimos com a taxa (mensal) de juros T = log8 225 enquanto que o “Banco ZAG” trabalha com a taxa (mensal) S = log2 15. Com base nessas informações:
a) estabeleça uma relação entre T e S;
b) responda em qual dos bancos um cidadão desse país, buscando a menor taxa de juros, deverá fazer empréstimo. Justifique.
37- (UFRN) No programa de rádio HORA NACIONAL, o locutor informa:
“Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do País alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis”.
Para atender as solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão
sendo t 0 e P a população do País.
a) Calcule o percentual da população que tomou conhecimento da notícia no instante de sua divulgação.
b) Calcule em quantas horas 90% da população tem acesso à notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% da população do País já conhecia a informação.
38- (Vunesp) Um determinado lago foi tomado pela vegetação. Em 1990 a área coberta pelas plantas era de 160 m2, e a partir de então o aumento anual da área coberta pela vegetação foi de 60%. Determine:
a) A área, em m2, coberta pela vegetação n anos mais tarde;
b) Usando log 16 = 1,2, quantos anos se passaram até que uma área de 2.560 m2 fosse coberta.
39- (Unicamp) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois de ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N(t) = 2 . (0,5)t, em que t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível foi constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo se o limite permitido de álcool no sangue para dirigir com segurança é de 0,8 grama/litro? (Use 0,3 para log2).
40- (UFSE-modificada) Se log 2 = a e log 3 = b então , em termos de a e de b, qual o valor de ?
41- (FGV-SP) É consenso, no mercado de veículos usados, que o preço de revenda de um automóvel importado decresce exponencialmente com o tempo, de acordo com a função V = k.xt. Se 18 mil dolares é o preço atual de mercado de um determinado modelo de uma marca famosa de automóvel importado, que foi comercializado há 3 anos por 30 mil dolares, depois de quanto tempo, a partir da data atual, seu valor de revenda será reduzido a 6 mil dolares?
(é dado log15 3 = 0,4).
a) 5 anos; b) 7 anos; c) 6 anos; d) 8 anos; e) 3 anos.
42- (Unesp – modificada para estilo ENEM) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado magnitude aparente. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente 3.1013 km). As magnitudes aparente e absoluta são muito úteis para se determinar distâncias astronômicas com relação ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula M = m + 5. log3(3. d-0,48), onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem, aproximadamente, magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta -6,8. Qual é então a distância, em quilômetros, da estrela Rigel ao planeta Terra?
GABARITO
1- a) Resolução 1:
Resolução 2:
Uma outra saída é enxergar a expressão como um trinomio do 2° grau na variável x (ou y). Assim,
Assim o zeros do trinômio do segundo grau seriam . Como todo trinômio do 2° grau pode ser escrito na forma , onde r1¬ e r2 são seus zeros, segue que pode ser escrito na forma .
b)
c)
d) ;
2- a15 / 2; 3- a) 4; b) 5; c) 1; d) -2; e) não definido nos Reais.
4- a) 4; b) 2; c) 2; d) 49; e) ; 5- a) ; b) 14; c) 3; 6- sala de aula;
7- 0; 8- 0,0336; 9- 6; 10- 0,625; 11- 29;
12- a) vazio; b) qualquer real; c) vazio; d) 0; 8 e 7/3; e) 0 e 2; f) -5 e 5; g) vazio; h) 2 e 4; i) -1/2; j) vazio;
13- m > 4; 14- 12; 15- a; 16- [2 , 12];
17- a função é ímpar; 18- 980; 19- x > 4;
20- a) m > 2; b) m < 2; c) m = 2; 21- 8; 22- 53;
23- a; 24- a) 2; b) 2/3; c) 10; d) 1/5; e) 4; 25- a) 4; b) 2; c) 10; d) 2; e) 2;
26- 1; 27- a) k = - 2; b) 900 peças; 28- 1;
29- a) 1 x > 0; b) x > 2; c) 1 x > 0; d) x > 1 e x 2; e) x < -2 ou x > 3;
30- a; 31- ; 32- e; 33- e;
34- 1; 35- 1; 36- a) T = (2S / 3); b) banco Zig, pois T < S;
37- a) 10% P; b) 2 h; 38- a) A(n) = 160 . 1,6n; b) 6 anos;
39- no mínimo 1 h e 20 min; 40- ;
41- c; 42- 7,29. 1015km;
isso ai pra mim é td grego affs
ResponderExcluirquem foi o triste q inventou a matematica a fisica e a quimica pra eu mandar matar em affs q coisa mais complicada.